摘要： 更正并致歉首先：更正并致歉。在上一篇文章《橢圓性質(zhì)匯總》中，有細(xì)心讀者發(fā)現(xiàn)文中出現(xiàn)兩處錯(cuò)誤，現(xiàn)聲明更正如下：1，橢圓直徑性質(zhì)證明過(guò)程更正如下：2，焦點(diǎn)三角形面積公式更正為：本人再次...

更正并致歉

首先：更正并致歉。在上一篇文章《橢圓性質(zhì)匯總》中，有細(xì)心讀者發(fā)現(xiàn)文中出現(xiàn)兩處錯(cuò)誤，現(xiàn)聲明更正如下：

1，橢圓直徑性質(zhì)證明過(guò)程更正如下：

2，焦點(diǎn)三角形面積公式更正為：

本人再次對(duì)文章編輯過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤致歉，希望大家持續(xù)關(guān)注并積極指正。

上一篇文章已對(duì)橢圓性質(zhì)進(jìn)行了匯總，本文對(duì)高考考點(diǎn)中涉及的雙曲線(xiàn)的部分性質(zhì)進(jìn)行匯總。

注：以下僅討論焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)性質(zhì)。

雙曲線(xiàn)定義

1.第一定義

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線(xiàn)，其中2a<|F1F2|。此為課本上的標(biāo)準(zhǔn)定義，不再詳述。

2.第二定義

平面內(nèi)到定點(diǎn)F（±c，0）的距離和到定直線(xiàn)l：x=±a2/c的距離之比為常數(shù)e=c/a（e>1）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)。其中定點(diǎn)F（±c，0）為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l：x=±a2/c為雙曲線(xiàn)的左右準(zhǔn)線(xiàn)。

對(duì)第二定義給出證明：

以右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線(xiàn)為例：

上述定義即可作為判定定理也可作為性質(zhì)定理。

雙曲線(xiàn)方程

1.雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程

不再詳述。

2.雙曲線(xiàn)參數(shù)方程

注：sec為正割函數(shù)，secθ=1/cosθ

其中θ為參數(shù)，θ的幾何意義如下圖：

以雙曲線(xiàn)實(shí)軸和虛軸為直徑分別做圓C1（圖中大圓）、C2（圖中小圓），對(duì)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M，做x軸垂線(xiàn)，垂足為A'。過(guò)A'做圓C1切線(xiàn)，切點(diǎn)為A。過(guò)圓C2與x正半軸焦點(diǎn)B做圓C2的切線(xiàn)，與過(guò)M并平行于x軸的直線(xiàn)交于B'點(diǎn)。則O、A、B'三點(diǎn)共線(xiàn)，∠AOx即為參數(shù)θ。

切線(xiàn)

1.雙曲線(xiàn)切線(xiàn)定理

雙曲線(xiàn)的任意一條切線(xiàn)平分切點(diǎn)所在的焦點(diǎn)三角形頂角。

圖中∠α=∠β，對(duì)頂角相等，切線(xiàn)是焦點(diǎn)三角形的一條角平分線(xiàn)。

證明從略。該性質(zhì)在高考中應(yīng)用較少，但其揭示了雙曲線(xiàn)的一條光學(xué)性質(zhì)，該性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)課本上也有提及，即從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)雙曲線(xiàn)反射后，其反向延長(zhǎng)線(xiàn)在另一個(gè)焦點(diǎn)匯聚。

2.雙曲線(xiàn)切線(xiàn)方程

過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線(xiàn)方程為：

以下用求導(dǎo)方法給出證明：

上述證明過(guò)程用到了隱函數(shù)求導(dǎo)，高中范圍不涉及該知識(shí)點(diǎn)，有興趣的同學(xué)可以嘗試用二次函數(shù)判別式推導(dǎo)。

3.雙曲線(xiàn)切點(diǎn)弦方程

過(guò)雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)，做雙曲線(xiàn)上的兩條切線(xiàn)（如果存在的話(huà)），切點(diǎn)為A，B，則過(guò)A，B的切點(diǎn)弦方程為：

這里需要注意，過(guò)雙曲線(xiàn)外（或上）一點(diǎn)做雙曲線(xiàn)切線(xiàn)，最多只可能做兩條切線(xiàn)。具體見(jiàn)下：

4.雙曲線(xiàn)切線(xiàn)存在情況

如圖：雙曲線(xiàn)及漸近線(xiàn)將平面分成ABCDEF六個(gè)區(qū)域：

1.當(dāng)P位于A、B區(qū)域時(shí)，過(guò)P可在雙曲線(xiàn)兩支各做一條切線(xiàn)；

2.當(dāng)P位于C、D區(qū)域時(shí)，過(guò)P可在雙曲線(xiàn)較近的一支做兩條切線(xiàn)；

3.當(dāng)P位于E、F區(qū)域時(shí)，過(guò)P不能做切線(xiàn)；

4.當(dāng)P位于雙曲線(xiàn)上時(shí)，過(guò)P只可在P點(diǎn)所在支做一條切線(xiàn)；

5.當(dāng)P位于漸近線(xiàn)上（不含原點(diǎn)）時(shí)，過(guò)P只可在雙曲線(xiàn)較近的一支做一條切線(xiàn)；

6.當(dāng)P位于原點(diǎn)時(shí)，過(guò)P不能做切線(xiàn)；

具體列表如下：

直徑

過(guò)雙曲線(xiàn)中心的弦被稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的直徑。實(shí)軸是雙曲線(xiàn)最短的直徑，雙曲線(xiàn)直徑可以無(wú)限長(zhǎng)，故雙曲線(xiàn)沒(méi)有最長(zhǎng)的直徑。雙曲線(xiàn)直徑所在直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值必然小于漸近線(xiàn)斜率的絕對(duì)值。

1.雙曲線(xiàn)直徑性質(zhì)

雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)與雙曲線(xiàn)直徑兩端點(diǎn)連線(xiàn)的斜率（如果存在的話(huà)）之積是定值，定值為e2-1。

特別的：雙曲線(xiàn)上任意點(diǎn)到實(shí)軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)斜率之積是定值e2-1。

2.雙曲線(xiàn)直徑長(zhǎng)

雙曲線(xiàn)直徑長(zhǎng)公式為：

其中k為直徑所在直線(xiàn)斜率。該公式請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo)。顯然，直徑存在的充要條件是|k|<b/a。

特別的：當(dāng)k=0時(shí)，上式結(jié)果為2a，即為實(shí)軸；當(dāng)k趨于±b/a，即漸近線(xiàn)斜率時(shí)，上式結(jié)果趨于無(wú)窮大。

焦半徑

1.焦半徑長(zhǎng)

焦半徑長(zhǎng)：|PF1|=|ex+a|，|PF2|=|ex-a|（F1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在右支上時(shí)，等式右端絕對(duì)值內(nèi)取正，P點(diǎn)在左支上時(shí)取負(fù)）。

通過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)定義證明，過(guò)程略。

2.焦半徑性質(zhì)

以短焦半徑為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓外切，以長(zhǎng)焦半徑為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切。

以P點(diǎn)在右支上舉例進(jìn)行證明：

證：設(shè)以PF2為直徑的圓的圓心為O2，則圓O2半徑為r2=(ex-a)/2，

以長(zhǎng)軸為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓O半徑為r=a，

兩圓心距離|OO2|=(ex+a)/2=r+r2，

故以PF2為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓外切。

同理可證，以PF1為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切。

3.焦點(diǎn)弦

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為：

其中k為焦點(diǎn)弦所在直線(xiàn)斜率。該公式請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo)。

當(dāng)|k|<b/a時(shí)，焦點(diǎn)在焦點(diǎn)弦延長(zhǎng)線(xiàn)上，當(dāng)|k|>b/a時(shí)，焦點(diǎn)在焦點(diǎn)弦上，當(dāng)|k|=b/a時(shí)，焦點(diǎn)弦不存在（或無(wú)限長(zhǎng)）

特別的：當(dāng)k=0時(shí)，上式結(jié)果為2a，即為實(shí)軸；當(dāng)k趨于無(wú)窮大時(shí)，上式結(jié)果即為通徑長(zhǎng)：2b^2/a

4.焦點(diǎn)三角形

焦點(diǎn)三角形面積公式：